{"id":1520,"date":"2015-04-14T00:28:28","date_gmt":"2015-04-14T00:28:28","guid":{"rendered":"http:\/\/phaidon.philo.at\/qu\/?p=1520"},"modified":"2018-11-15T16:32:59","modified_gmt":"2018-11-15T16:32:59","slug":"unendliche-mengen-teil-1-eine-ubung-mit-javascript","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/quatsch.philo.at\/?p=1520","title":{"rendered":"Unendliche Mengen. Teil 1: Eine \u00dcbung mit JavaScript"},"content":{"rendered":"

\"line_split_fractals\"<\/a><\/p>\n

Wir schreiben. Ein Spiel mit Zeichen, Manipulationen von Strings nach Regeln. Und dann, was damit anfangen? In der Anwendung, d.h. dem Einsatz der einge\u00fcbten Regeln in der vielf\u00e4ltigen Welt, gewinnen die Spielz\u00fcge ihren Wert.<\/em><\/p>\n

Das Spiel mit Zeichen aber ist selbst ein Weltgeschehen. Und w\u00e4hrend es sich als Ordner der Welt bet\u00e4tigt, kommen Zweifel auf – \u00fcber die Welt der Ordnung. Was tut es mit den unendlichen Mengen an Vorkommnissen? Immer kleinteiliger zerlegen. Auf verschiedenste Weisen zusammenfassen.<\/em> Auf Eigenschaften schlie\u00dfen. Und wenn es selbst in den Fokus des Ordnens kommt, bricht es erst einmal zusammen.
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Einleitung<\/strong><\/p>\n

Nehmen wir an, wir w\u00fcrfen mit einer M\u00fcnze \u201cKopf und Adler\u201d und teilen nun eine Strecke AB nach folgender Regel: \u201cKopf\u201d sagt:nimm die linke H\u00e4lfte und teile sie, wie der n\u00e4chste Wurf vorschreibt. \u201cAdler\u201d sagt: nimm die rechte H\u00e4lfte etc. Durch fortgesetztes W\u00fcrfeln erzeuge ich dann Schnittpunkte, die sich in einem immer kleineren Intervall bewegen. Beschreibt es nun die Lage eines Punktes, wenn ich sage, es solle der sein, dem sich bei fortgesetztem W\u00fcrfeln die Schnitte unendlich n\u00e4hern?
\n(Wittgensteinsource<\/a>, TS213-767r[6])<\/p><\/blockquote>\n

Es gibt eine Grenze der Formalisierung und Strukturierung, die man nicht \u00fcberschreiten soll. “Soll” ist zu gebieterisch gegen\u00fcber den formalisierenden Praktiken. Vielleicht so: Die \u00dcberschreitung dieser Grenze wird keinen zus\u00e4tzlichen Gewinn eingebracht haben – sie \u00fcberschie\u00dft die F\u00e4lle der Anwendung, springt \u00fcber sie hinweg und h\u00e4ngt dann in der Luft. Eine Spekulation auf Eventualit\u00e4ten, die noch nicht aufgetreten sind oder gar nie auftreten. Aber auch mutig, vielleicht weg-weisend zu einem neuen Wissensgebiet.<\/p>\n

Ludwig Wittgenstein zieht eine Grenze zwischen der Einf\u00fchrung von unendlichen Mengen und der Assoziation mit Kardinalzahlen:<\/p>\n

Wenn der Mengenkalk\u00fcl sich in seiner Ausdrucksweise soviel als m\u00f6glich an die Ausdrucksweise des Kalk\u00fcls der Kardinalzahlen anlehnt, so ist das wohl in mancher Hinsicht belehrend, weil es auf gewisse formale \u00c4hnlichkeiten hinweist, aber auch irref\u00fchrend, wenn er gleichsam noch etwas ein Messer nennt, das weder Griff noch Klinge mehr hat. (Lichtenberg<\/a>.)
\n(Wittgensteinsource.org<\/a>,\u00a0TS-213,740r[4])<\/em><\/p>\n

Unendliche Mengen “enthalten” den Moment des “…”, also die beliebige Fortsetzung einer regelgeleiteten T\u00e4tigkeit. Zum Beispiel ist die Reihe der nat\u00fcrlichen Zahlen beliebig fortsetzbar, da jede Zahl einen Nachfolger hat. Nimmt man die gr\u00f6\u00dfte bekannte nat\u00fcrliche Zahl, kann man jedes Mal eine noch gr\u00f6\u00dfere bilden, indem man die Regel des “Eins-weiter”, also der Nachfolgerfunktion anwendet. Man kann nicht alle<\/em> Zahlen, die Element der nat\u00fcrlichen Zahlen sind, aufschreiben. Man kann sie nicht abz\u00e4hlen, aber sie sind abz\u00e4hlbar, vom Prinzip her. Man fragt: “Wie viele sind es dann? Unendlich viele.”<\/p>\n

Wittgenstein beharrt auf der Grenze, dass man \u00fcber die Gr\u00f6\u00dfe von unendlichen Mengen nichts aussagen soll. Seine Maxime: “Nicht intervenieren” kommt ihm dabei in die Quere, oder muss zumindest pr\u00e4zisiert werden.<\/p>\n

Es ist mittlerweile g\u00e4ngige und akzeptierte Praxis unter Mathematikern, endlichen sowie unendlichen Mengen die Eigenschaft der M\u00e4chtigkeit zuzuschreiben. Georg Cantors Mengentheorie hat sich, vor allem nach Vermeidung von Widerspr\u00fcchen durch die gr\u00fcndliche Axiomatisierung durch Zermelo, Fraenkel, und G\u00f6del, weitgehend durchgesetzt. Die zeitgen\u00f6ssischen Kritiker Cantors, die ihm eine harte Zeit in der Community beschert haben, w\u00e4ren heute wohl nicht mehr absolut verweigernd.<\/p>\n

Dennoch, an der Mengentheorie, ihren Entwicklungen und ihrer Kritik gibt es viel zu lernen:<\/p>\n