Unendliche Mengen. Teil 2: Limesordinalzahlen. Oder: Frauen?

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“It is a fact, that there is no limit point. If there is no limit point, there is something infinite, virtually. But we will never be in the point without limit. If we continue the repetition, we are always in the finite, we don’t encounter the limit of the absence of limit. The absence of limit is only the possibility to do the succession once more. But this ‘once more’ is only the ‘without limit’ and not the positive presentation of something infinite.” Alain Badiou – Infinity and Set Theory – Repetition and Succession (2011)

Wir haben in der letzten Episode anhand von Javascript gesehen, dass das Zählen zwar prinzipiell weitergehen kann, jedoch praktisch, um nicht in der Endlosschleife hängen zu bleiben, ein Ende finden muss – bis auf Weiteres.

Die Regel, die das Weiterzählen vorschreibt, ist kein Gesetz das uns einschränkt, sondern ein Hilfsmittel, mit dem wir beliebig viele gleichartige Zahlen erzeugen können. Was heißt gleichartig? Der Modus Operandi der Erzeugung dieser Zahlen bleibt stets gleich: +1, +1, +1, … Damit reihen  sich die Zahlen in eine Ordnung ein und sind gleichzeitig Schöpfungen, dessen Eigenschaften und Ähnlichkeiten man untersuchen kann. x ist eine gerade Zahl, x ist eine Primzahl, usw.

Die Mengentheorie nimmt die Regel des Weiterzählens zur Kenntnis, setzt sie aber an einer Stelle aus. Man kann fragen: Gibt es eine Zahl, die dieser Regel entkommt, d.h. eine Zahl, die sich nicht durch die Anwendung der Regel begründet, die von 0 beginnend einen Nachfolger produziert? Was wenn wir uns entscheiden, die Existenz dieser Zahl anzunehmen? Dann können wir -woanders- weiterzählen. Was ist passiert? Hilft uns das weiter?


Wenn es keine andere Möglichkeit als das Konstruieren von Zahlen durch Weiterzählen gibt, gibt es keine unendlichen Mengen. Es gibt keinen Abschluss des Weiterzählens. Mengen brauchen jedoch einen fixen Abschluss.

Gehen wir Schritt für Schritt vor:
(Fortsetzung der Nummerierung vom letzten Beitrag)

3. Ordinalzahl:
Eine Ordinalzahl ist eine Menge, die ausgehend von der kleinsten Menge aufgebaut wird, jeweils mit einem eindeutigen Nachfolger. Nimmt man die leere Menge als kleinste Menge, kann man die natürlichen Zahlen mengentheoretisch nachbilden:

                                          … 0
{}                                       … 1
{,{}}                                … 2
{,{}, {,{}} }               … 3

Eine Ordinalzahl ist eine transitive Menge: d.h. jedes Element der Ordinalzahl ist auch eine Teilmenge der Ordinalzahl. Zum Beispiel 3 = {,{}, {,{}} }:

  • Das Element ist Teilmenge, weil Element von 3 (sowie von jeder Menge) ist.
  • Das Element {} ist Teilmenge, weil Element von 3 ist.
  • Das Element {,{}} ist Teilmenge, weil und {} Elemente von 3 sind.

4. Limesordinalzahl

Nun kann man sich überlegen, ob es eine Zahl gibt, die nicht ein Nachfolger von irgend einer anderen Ordinalzahl ist, die aber dennoch eine Ordinalzahl ist. In der Mengentheorie nennt man so eine Zahl Limesordinalzahl.

Eine Limesordinalzahl zu sein, ist die Eigenschaft einer Menge. lim(a) wird informell gesprochen so definiert: Eine Menge a ist eine Limesordinalzahl genau dann wenn es keine Ordinalzahl b gibt, von der a der Nachfolger ist. Warum kann so eine Zahl weiterhin eine Ordinalzahl sein? Weil man der Zahl zugesteht, weiterhin eine transitive Menge zu sein, d.h. jedes Element von dieser Zahl ist Teil der Limesordinalzahl. Wenn solche Zahlen existieren, können wir die kleinste Limesordinalzahl finden, d.h. eine Menge, die keine andere Limesordinalzahl enthält. Diese nennen wir ω0. Sie ermöglicht eine Art Geschlossenheit der endlichen Ordinalzahlen, ohne durch ein konkretes Ende der Zahlenreihe begrenzt zu sein.

Man kann zeigen, dass jede beliebige Zahl, die Element von ω0 ist, einen Nachfolger hat, der ebenfalls Element von ω0 ist. Es liegen virtuell unendlich viele Zahlen “zwischen” einer Nachfolgerordinalzahl und ω0.

Man kann die Existenz von Limesordinalzahlen annehmen oder nicht. Nichts zwingt uns. Außer man entscheidet sich dafür. Dann wiederholt man auf der prinzipiellen Ebene die Spezifikation des Datentyps Numbers in Javascript, die sagt: Irgendwann müssen wir aufhören weiterzuzählen. In diesem Fall sagt man nicht “wir müssen”, sondern: “Wir überspringen den Rest, du weißt ja jetzt, wie es weitergeht. Jetzt pass auf, es gibt noch etwas Anderes.”

ω0 markiert die Grenze der endlichen Ordinalzahlen, die wir nicht vollständig von Anfang bis Ende durchlaufen können. Ausblick: Danach wird weitergezählt. Man kommt darauf, innerhalb der unendlichen Mengen zu differenzieren. Zwischen-Ergebnis auf die eingangs im ersten Teil aufgeworfenen Frage: Wenn man die Grenze durch eine Entscheidung überschreitet, verschiebt sie sich.

Was ist daran hilfreich? Hat sich mit dieser Entscheidung etwas geändert? Das Unendliche hat eine neue Bedeutung bekommen. Vom unerreichbaren Jenseits zum Daneben, das den Bereich des Endlichen verortet. Und dann kann man weiter zählen. Nach dem Sprung ist vor dem Sprung, jedoch anders.

Am Ende eines Vortrags bringt Alain Badiou einen Kommentar über das Verhältnis von Mann und Frau ins Spiel und beleuchtet es mit Hilfe des Punkts der Entscheidung über die Existenz von unendlichen Mengen:

Why the idea of the infinite has been so often associated to the representation of the woman? It is a male position. The woman is represented as the point where the male don’t understand where his limits are. A woman is represented as “without limits” of the male process/existence.

The male is on the side of the consistent process of numbers. There is a succession. The human being of the succession. There is something like a symbolic strength in all that. It is true that the representation of the woman in the classical conception is much more like ω. It is the moment where somebody is the representation of the “without limits” of the total space of repetition. Something which exists outside the succession of numbers. In modern terms, we can say that a man is a finite number and a woman is an infinite number. […] A woman is the point, where the question of “without limit” is dissolved.

It is why man are so afraid of woman. Inside their representation, a woman, especially in sexual relationship, the woman represents the point where we cannot continue. We must do something which is not inside the limits of the representation. We are provoked […]
Is this all true or a pure mythology of the male part of a woman existence? Certainly, the question of the passage (where we are) to the quite-infinite, which exist only in the negative form of the continuation of the finite, which is also the domestic vision of feminity. The woman is only this opening of the limit to the continuation of humanity, finally… composed by solid numbers which are the male figures. The passage to the point where we have something that is not at all reducible to the pure continuation, something like a transcendent law of the continuation itself, which escapes repetition, which is the true infinite. This is by necessity the moment of trouble and difficulty. We have [in set theory] the difficulty in intellectual form, but the difficulty also exists in existential form in many representations of the ultimate function of the feminine in the history of human beings, the history of pure and poor human beings.
Alain Badiou – Infinity and Set Theory – Repetition and Succession (2011)

Die auralosen Zeichen der Mengentheorie greifen ein in die schillernden, zwischenmenschlichen Verhältnisse und zeigen mögliche Denkorientierungen auf. Zugegeben, eine spannende Anwendung. Kann man das Verhältnis von endlichen und unendlichen Mengen so direkt mit Männern und Frauen gleichsetzen? Man könnte sagen, dass es sich nicht um eine Gleichsetzung handelt. Es handelt sich um eine Reflektionsmöglichkeit. Die Mengentheorie und das Zwischenmenschliche sind verschiedene Situationen. Manche Strukturen des Denkens kann man jedoch in beiden auffinden. Nun mag Badiou diese Demonstration vielleicht gelungen sein: Es ist das Risiko und der Erfolg von abstrakten Zeichen und Kalkülen, dass man meint, sie (blind) überall anwenden zu können und dass man sie etwas sagen lässt, das sie selbst nicht sagen. Verwendung auf eigene Gefahr.

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